Παράδοξο του Ζήνωνα και σύγκλιση σειρών.

Ας υποθέσουμε έναν δρομέα που τρέχει με ταχύτητα u1=10m/sec σε δρόμο 100 μέτρων. Σύμφωνα με τον τύπο της Ευθύγραμμης ομαλής κίνησης ο δρομέας πρέπει να τρέχει για 100/10=10 sec. Ας χωρίσουμε την απόσταση αυτή σε μικρότερα τμήματα d1,d2,d3,… με την εξής λογική: το πρώτο διάστημα θα είναι το μισό ολόκληρης της διαδρομής d1=50m, το δεύτερο θα είναι το μισό του προηγούμενου διαστήματος d2=d1/2=1/4 κοκ.               (d(n)=d(n-1)/2). ‘Ετσι  για κάθε διάστημα απαιτείται και ο αντίστοιχος χρόνος t1,t2,t3,… όπου t1=d1/10=50/10=5sec , t2=d2/10=25/10=2.5sec, t3=12.5/10=1.25sec,…,tn=d(n)/10 sec,… Παρατηρούμε ότι σε κάθε επόμενο διάστημα μειώνεται και ο χρόνος στο μισό αλλά ποτέ δεν θα μηδενιστεί, θεωρητικά τουλάχιστον. Πως γίνεται όμως αυτό όταν τόσα χρόνια οι δρομείς όχι απλά τερματίζουν την κούρσα αλλά καταρίπτουν και τα ρεκόρ το ένα πίσω απ΄το άλλο;

Μελετώντας την συμπεριφορά του χρόνου του  κάθε ενός διαστήματος που έχουμε χωρίσει την συνολική διαδρομή μπορούμε να καταλάβουμε ότι είναι:

\sum t= \sum_{i=1}^{\propto } \frac{1}{2^i}=\lim_{n\rightarrow \propto } \sum_{i=1}^{n } \frac{1}{2^i}

Ελέγχοντας την σύγκλιση της συγκεκριμένης σειράς βγαίνει το αναμενόμενο συμπέρασμα ότι ο αθλητής θα διανύσει την απόσταση σε 10sec αφού συγκλίνει στο 1, άρα \sum t*10=100 => \sum t=10sec.

This entry was posted in Uncategorized and tagged , , , , , , . Bookmark the permalink.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s